Risposta in frequenza del filtro Esecuzione media La risposta in frequenza di un sistema LTI è DTFT della risposta impulsiva, la risposta all'impulso di un L - Sample media mobile è Poiché il filtro media mobile è FIR, la risposta in frequenza riduce alla somma finita Noi può utilizzare l'identità molto utile per scrivere la risposta in frequenza da dove abbiamo lasciato ae meno jomega. N 0 e M L meno 1. Ci può essere interessato grandezza di questa funzione per determinare quali frequenze ottenere attraverso il filtro non attenuato e che sono attenuati. Di seguito è un grafico della grandezza di questa funzione per L 4 (rosso), 8 (verde), e 16 (blu). L'asse orizzontale va da zero a radianti pi per campione. Si noti che in tutti e tre i casi, la risposta in frequenza ha una caratteristica passa-basso. Un componente costante (frequenza zero) in ingresso passa attraverso il filtro non attenuato. Alcune frequenze più alte, come Pi 2, sono completamente eliminati dal filtro. Tuttavia, se l'intento era quello di progettare un filtro passa-basso, quindi non abbiamo fatto molto bene. Alcune delle alte frequenze vengono attenuate solo per un fattore di circa 110 (per la media 16 punti in movimento) o 13 (per la media mobile di quattro punti). Possiamo fare molto meglio di così. La trama di cui sopra è stato creato dal seguente codice Matlab: omega 0: pi400:. PI H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- iomega8)). (1-exp (-iomega)) H16 (116) (1-exp (-iomega16)). (1-exp (-iomega)) terreno (omega, abs (H4) abs (H8) abs ( H16)) asse (0, pi, 0, 1) Copyright copia 2000- - University of California, BerkeleySignal ProcessingDigital filtri filtri digitali sono da sistemi essenza campionati. I segnali di ingresso e di uscita sono rappresentati da campioni = distanza temporale. Finite filtri Implulse Response (FIR) sono caratterizzati da un tempo di risposta dipende solo un dato numero di ultimi campioni del segnale di ingresso. In altri termini: una volta che il segnale di ingresso è sceso a zero, l'uscita del filtro farà lo stesso dopo un certo numero di periodi di campionamento. L'uscita y (k) è dato da una combinazione lineare dei campioni dell'ultima ingresso x (k i). I coefficienti b (i) danno il peso per la combinazione. Essi corrispondono anche i coefficienti del numeratore della funzione di trasferimento del filtro z-dominio. La figura seguente mostra un filtro FIR di ordine N 1: Per i filtri a fase lineare, i valori dei coefficienti sono simmetriche attorno quello centrale e la linea di ritardo può essere ripiegato intorno a questo punto centrale in modo da ridurre il numero di moltiplicazioni. La funzione di trasferimento di filtri FIR pocesses solo numeratore. Ciò corrisponde ad un filtro all-zero. filtri FIR genere richiedono ordini elevati, nella grandezza di varie centinaia. Così la scelta di questo tipo di filtri avrà bisogno di una grande quantità di hardware o CPU. Nonostante questo, una ragione per scegliere un attuazione filtro FIR è la capacità di ottenere una risposta di fase lineare, che può essere un requisito in alcuni casi. Tuttavia, il progettista fiter ha la possibilità di scegliere filtri IIR con una buona linearità di fase in banda passante, come filtri di Bessel. o progettare un filtro passa tutto per correggere la risposta di fase di un filtro standard IIR. Moving filtri medi (MA) Modifica media mobile modelli (MA) sono modelli di processo nella forma: processi MA è una rappresentazione alternativa di filtri FIR. Filtri medi modificare un filtro calcolare la media degli ultimi N campioni di segnale è la forma più semplice di un filtro FIR, con tutti i coefficienti parità. La funzione di trasferimento di un filtro a media è data da: La funzione di trasferimento di un filtro medio è N equidistanti zeri lungo l'asse di frequenza. Tuttavia, lo zero in DC viene mascherato polo del filtro. Quindi, vi è un lobo più grande una CC che rappresenta la banda passante del filtro. Cascata Integrator-pettine (CIC) Filtri Modifica Una cascata filtro integratore-pettine (CIC) è una tecnica speciale per l'attuazione di filtri media disposti in serie. Il posizionamento serie di filtri medi esalta il primo lobo a DC rispetto a tutti gli altri lobi. Un filtro CIC implementa la funzione di trasferimento dei filtri medi N, ogni calcolando la media dei campioni R M. La sua funzione di trasferimento è quindi data da: filtri CIC sono utilizzati per decimare il numero di campioni di un segnale di un fattore di R o, in altri termini, ricampionare un segnale ad una frequenza inferiore, gettando via R 1 campioni su R. Il fattore M indica la quantità del primo lobo utilizzato dal segnale. Il numero di stadi medi filtranti, N. indica quanto bene altre bande di frequenza sono smorzate, a scapito di una funzione di trasferimento meno piatta intorno DC. La struttura CIC permette di implementare l'intero sistema con solo vipere e registri, che non effettui alcuna moltiplicatori che sono avido in termini di hardware. Downsampling di un fattore R permette di aumentare la risoluzione del segnale dal log 2 (R) (R) bit. filtri canoniche filtri Edit canoniche implementare una funzione di trasferimento del filtro con un numero di elementi di ritardo pari al ordine del filtro, un moltiplicatore per coefficiente numeratore, un moltiplicatore per coefficiente denominatore e una serie di sommatori. Analogamente a filtri attivi strutture canoniche, questo tipo di circuiti dimostrato di essere molto sensibili ai valori degli elementi: un piccolo cambiamento in una coefficienti aveva un grande effetto sulla funzione di trasferimento. Anche in questo caso, il progetto di filtri attivi si è spostata dai filtri canoniche ad altre strutture come catene di sezioni secondo ordine o filtri cavallina. Catena del secondo ordine Sezioni modificare una seconda sezione ordine. spesso definito come biquad. implementa una seconda funzione di trasferimento ordine. La funzione di trasferimento di un filtro può essere suddiviso in un prodotto di funzioni di trasferimento associati ciascuno ad una coppia di poli e possibilmente un paio di zeri. Se le funzioni ordine di trasferimento è dispari, allora una prima sezione fine deve essere aggiunta alla catena. Questa sezione è associato al polo reale e al reale zero se c'è uno. - Forma diretta 1-forma diretta 2-forma diretta 1 trasposta-forma diretta 2 recepito le-forma diretta 2 trasposizione della figura che segue è particolarmente interessante dal punto di vista hardware necessario così come il segnale e il coefficiente di quantizzazione. Digital Leapfrog Filtri Modifica filtro Struttura Modifica digitale di base filtri Leapfrog sulla simulazione di filtri attivi Leapfrog analogici. L'incentivo di questa scelta è quello di ereditare da eccellenti proprietà di sensibilità banda passante del circuito scala originale. Il seguente 4 ° ordine del filtro passa-basso scavalcare tutti i poli può essere implementato come un circuito digitale sostituendo integratori analogici con accumulatori. Sostituzione delle integratori analogici con accumulatori corrisponde per semplificare la Z-trasformare per z 1 s T. quali sono i due primi termini della serie di Taylor di z e x p (s T). Questa approssimazione è abbastanza buono per filtri in cui la frequenza di campionamento è molto più alta della banda del segnale. Funzione di trasferimento modificare il spazio di stato del filtre precedente può essere scritta come: Da questo insieme equazione, si può scrivere la A, B, C, D matrici come: Da questa rappresentazione, gli strumenti di elaborazione del segnale, come Octave o Matlab permettono di tracciare la risposta in frequenza dei filtri o di esaminare i suoi zeri e poli. Nel filtro cavallina digitale, i valori relativi dei coefficienti impostare la forma della funzione di trasferimento (Butterworth. Chebyshev.), Mentre le loro ampiezze impostare la frequenza di taglio. Dividendo tutti i coefficienti di un fattore due turni la frequenza di taglio dalla un'ottava (anche un fattore di due). Un caso particolare è il filtro fine 3 ° Buterworth che ha costanti di tempo con valori relativi di 1, 12 e 1. A causa di ciò, questo filtro può essere implementato in hardware senza alcun moltiplicatore, ma utilizzando turni invece. Filtri autoregressivi (AR) Modifica Autoregressive modelli (AR) sono modelli di processo nella forma: dove U (n) è l'uscita del modello, x (n) è l'ingresso del modello, e U (n - m) sono precedenti campioni del valore di uscita del modello. Questi filtri sono chiamati autoregressivo perché i valori di uscita sono calcolati sulla base delle regressioni dei valori di uscita precedenti. processi AR possono essere rappresentati da un filtro a tutti poli. ARMA filtri (ARMA) Filtri-media mobile Edit autoregressivi sono combinazioni di filtri AR e MA. L'uscita del filtro è data come una combinazione lineare sia dell'ingresso ponderato e campioni di uscita ponderati: processi ARMA possono essere considerati come un filtro IIR digitale, con entrambi i poli e zeri. filtri AR sono preferiti in molti casi perché possono essere analizzati utilizzando le equazioni di Yule-Walker. processi MA e ARMA, invece, possono essere analizzati da equazioni non lineari complessi che sono difficili da studiare e modello. Se abbiamo un processo AR con rubinetto peso coefficienti a (un vettore di un (n), un (n -. 1)) un ingresso di x (n). e una potenza di y (n). possiamo usare le equazioni di Yule-Walker. Diciamo che x 2 è la varianza del segnale di ingresso. Trattiamo il segnale dati in ingresso come un segnale casuale, anche se si tratta di un segnale deterministico, perché non sappiamo quale sia il valore sarà fino a quando lo riceviamo. Siamo in grado di esprimere le equazioni di Yule-Walker come: dove R è la matrice di cross-correlazione della uscita di processo e R è la matrice di autocorrelazione dell'uscita processo: Variance Modifica possiamo dimostrare che: Possiamo esprimere la varianza del segnale in ingresso come: O , espandendo e sostituendo a r (0). possiamo riferire la varianza uscita del processo per la varianza di ingresso: Introduzione a Filtering 9.3.1 Introduzione a Filtering Nel campo del segnale di elaborazione del progetto di filtri di segnale digitale riguarda il processo di sopprimere certe frequenze e aumentando altri. Un modello semplificato filtro è dove il segnale di ingresso viene modificato per ottenere il segnale di uscita utilizzando la formula ricorsiva L'attuazione (9-23) è semplice e richiede solo valori iniziali, quindi si ottiene per semplice iterazione. Poiché i segnali devono avere un punto di partenza, è comune richiede che e. Sottolineiamo questo concetto facendo la seguente definizione. Definizione 9.3 (causale Sequence) Date le sequenze di ingresso e di uscita. Se e per, la sequenza si dice che sia causale. Data la sequenza causale, è facile calcolare la soluzione a (9-23). Utilizzare il fatto che queste sequenze sono causali: Il passo iterativo generale è 9.3.2 Filtri La base I seguenti tre filtri di base semplificati servono come illustrazioni. (I) azzeramento del filtro, (si noti che). (Ii) Incrementare Up Filter, (si noti che). (Iii) del filtro combinato. La funzione di trasferimento per questi filtri modello ha la seguente forma generale in cui la Z-trasformate delle sequenze di ingresso e di uscita sono e rispettivamente. Nel paragrafo precedente abbiamo detto che la soluzione generale di un'equazione differenza omogenea è stabile solo se gli zeri della caratteristica trovano equazione all'interno del cerchio unitario. Analogamente, se un filtro è stabile allora i poli della funzione di trasferimento devono tutti trovano all'interno del cerchio unitario. Prima di sviluppare la teoria generale, vorremmo studiare la risposta di ampiezza, quando il segnale di ingresso è una combinazione lineare di e. La risposta di ampiezza della frequenza utilizza il segnale unità complessa, ed è definito come la formula verrà rigorosamente spiegato dopo alcuni esempi introduttivi. Esempio 9.21. Dato il filtro. 9.21 (a). Dimostrano che è un azzeramento filtro per i segnali e e calcolare la risposta di ampiezza. 9.21 (b). Calcolare le risposte di ampiezza e indagare il segnale filtrato per. 9.21 (c). Calcolare le risposte di ampiezza e indagare il segnale filtrato per. Figura 9.4. La risposta in ampiezza per. Figura 9.5. L'ingresso e l'uscita. Figura 9.6. L'ingresso e l'uscita. Esplora Soluzione 9.21. Esempio 9.22. Dato il filtro. 9.22 (a). Dimostrano che è un amplificando un filtro per i segnali e e calcolare la risposta di ampiezza. 9.22 (b). Calcolare le risposte di ampiezza e indagare il segnale filtrato per. Figura 9.7. La risposta in ampiezza per. Figura 9.8. L'ingresso e l'uscita. Esplora Soluzione 9.22. 9.3.3 Il generale filtro equazione L a forma generale di una equazione alle differenze filtro di ordine è dove e sono costanti. Si noti con attenzione che i termini coinvolti sono della forma e dove e, che rende questi termini ritardato. La forma compatta di scrivere l'equazione differenza è dove il segnale di ingresso viene modificato per ottenere il segnale di uscita utilizzando la formula ricorsiva La porzione azzererà segnali e aumenterà i segnali. Osservazione 9.14. La formula (9-31) viene chiamata equazione ricorsione e coefficienti ricorsione sono e. Essa mostra esplicitamente che la presente uscita è una funzione dei valori del passato, per, l'ingresso attuale, e gli ingressi precedenti per. Le sequenze possono essere considerati come segnali e sono zero per indici negativi. Con queste informazioni possiamo ora definire la formula generale per la funzione di trasferimento. Utilizzando la proprietà ritardato-time shift per le sequenze causali e prendendo la Z-transform di ogni termine (9-31). otteniamo Possiamo scomporre delle sommatorie e scrivere in una forma equivalente Dall'equazione (9-33) otteniamo che conduce alla seguente definizione importante. Definizione 9.4 (Transfer Function) La funzione di trasferimento corrispondente all'equazione differenza cassa (8) è dato dalla formula (9-34) è la funzione di trasferimento per un filtro di risposta all'impulso infinita (filtro IIR). Nel caso particolare in cui il denominatore è l'unità diventa la funzione di trasferimento per un filtro di risposta impulsiva finita (FIR filtro). Definizione (Response Unit-Sample) 9.5 La sequenza corrispondente alla funzione di trasferimento è chiamata la risposta dell'unità campione. Teorema 9.6 (Response Output) La risposta di uscita di un filtro (10) dato un segnale di ingresso è dato dalla inversa z-trasformazione e in convoluzione forma è data da altro importante uso della funzione di trasferimento è studiare come un filtro influenza varie frequenze. In pratica, un segnale a tempo continuo viene campionato ad una frequenza che è almeno il doppio della massima frequenza del segnale di ingresso per evitare frequenza ribaltabile o aliasing. Questo perché la trasformata di Fourier di un segnale campionato è periodica di periodo, anche se non ci dimostrare questo qui. Aliasing impedisce il recupero accurata del segnale originale dai suoi campioni. Ora si può dimostrare che l'argomento della trasformata di Fourier mappe sul cerchio unitario piano z tramite la formula (9-37), dove viene chiamato frequenza normalizzata. Pertanto la trasformata z valutata sulla circonferenza unitaria è anche periodiche, salvo periodo. Definizione 9.6 (Amplitude Response) La risposta di ampiezza è definita come l'ampiezza della funzione di trasferimento valutata al segnale unità complessa. La formula è (9-38) sull'intervallo. L 'teorema fondamentale dell'algebra implica che il numeratore ha radici (chiamati zeri) e il denominatore ha radici (chiamati poli). Gli zeri possono essere scelti in coppie coniugate sul cerchio unitario e per. Per la stabilità, tutti i poli devono all'interno del cerchio unitario e. Inoltre, i poli sono scelti per essere vero eo numeri in coppie coniugate. Ciò garantisce che i coefficienti di ricorsione sono tutti i numeri reali. Filtri IIR può essere tutto polo o zero palo e la stabilità è una preoccupazione filtri FIR e tutti zero filtri sono sempre stabili. 9.3.4 Esecuzione Filtri Nel formula pratica ricorsione (10) viene utilizzato per calcolare il segnale di uscita. Tuttavia, la progettazione del filtro digitale è basata sulla teoria di cui sopra. Si parte scegliendo la posizione di zeri e poli corrispondenti per filtrare requisiti di progettazione e costruzione della funzione di trasferimento. Dal t ha coefficienti in sono reali, tutti zeri e poli che hanno una componente immaginaria deve essere in coppie coniugate. Poi i coefficienti ricorsività vengono identificati in (13) e utilizzati in (10) per scrivere il filtro ricorsivo. Sia il numeratore e il denominatore possono essere presi in considerazione fattori di secondo grado a coefficienti reali e, eventualmente, uno o due fattori lineari con coefficienti reali. I seguenti principi sono usati per costruire. (I) azzeramento Fattori Per filtrare i segnali e, usare i fattori di forma nel numeratore. Essi contribuiranno a termine (ii) Incrementare Fino Fattori per amplificare i segnali e, usare i fattori di forma
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